Discussion:
Analogie hydrodynamique électromagnétisme
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florentis
2018-02-02 22:38:34 UTC
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D'abord : Merci à H. Marmanis, Germain Rousseau, Étienne Guyon, Olivier
Darrigol (au sujet de l'analogie), Claude Saintblanc (très bon cours de
mécaflu en ligne), Michael Zhdanov (théorie des formes différentielles
en dimension 4 - espace + temps).

Une forme différentielle en dimension 4 peut être décomposée en une
partie spatiale et une partie temporelle.

Écrivons la différentielle dφ une 0-forme φ de R4 :

dφ = grad(φ) . dr + ∂φ/∂t dt

Si on l'applique à l'hydrodynamique :

dφ = v . dr - P/ρ dt
φ est le potentiel de vitesse.
Cela définit une onde acoustique.

Si on l'applique à l'électromagnétisme :

dφ = A . dr + U dt

avec A = grad(φ) dit « potentiel vecteur » ou « impulsion
électromagnétique »
et U = - ∂φ/∂t dit « potentiel scalaire » -> (loi de Lenz)
φ est désigné aujourd'hui sous le terme « flux du champ magnétique »


Analogie de Helmoltz et théorème d'Ampère.

L'analogie de Helmoltz consiste à considérer que le champ magnétique est
à la vitesse ce que le la densité de courant est à la vorticité.
Cependant, cette analogie n'a pas les symétries adéquates (Rousseau,
Guyon). L'analogie correcte est de considérer que le potentiel vecteur
est à la vitesse ce que le champ magnétique est à la vorticité.

Le théorème d'Ampère est le reflet de l'analogie de Helmoltz : Il
considère la circulation du champ magnétique (comme une vitesse) pour
établir la densité de courant (la vorticité).

Pour respecter les symétries du problème, il faut donc modifier le
théorème d'Ampère :

La circulation du potentiel vecteur est égal ...

∮ A.dr = ∮ dφ = φ

au flux magnétique !

Or ∮ A.dr, c'est analogue à la circulation de la vitesse pour un
tourbillon.
∮ v.dr = I => c'est désigné l'intensité du Tourbillon.

On sait par ailleurs que :
φ = L I (Par définition, L étant l'inductance)
en dérivant par le temps :
∂φ/∂t = L ∂I/∂t = - U

D'où, le nouveau théorème d'Ampère :
∮ A.dr = L I

φ, flux du champ magnétique, véritable potentiel scalaire
----------------------------------------------------------
φ parait ainsi comme l'intensité du vortex d'impulsion
électromagnétique, qui est relié à l'intensité électrique via la notion
d'inductance.

Si on adjoint aux relations fondamentales :
A = grad φ (reliant l'impulsion du milieu à l'intensité du vortex);
U = - ∂φ/∂t (reliant la pression dans le milieu à l'intensité du vortex);
Enfin, la contrainte de Lorenz, div A + 1/c² ∂U/∂t = 0;
En substituant, on trouve,
div (grad (φ)) - 1/c² ∂²φ/∂t² = 0
Soit : ∇² φ - 1/c² ∂²φ/∂t² = 0

L'intensité du vortex électromagnétique obéit à l'équation d'onde.

On aura exactement la même relation en hydrodynamique
∇² φ - 1/c_s² ∂²φ/∂t² = 0
Ou φ est le potentiel de vitesse, et c_s la célérité du son dans le milieu.
florentis
2018-02-03 11:43:10 UTC
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Ensuite, il faut déterminer à quoi correspondent, dans cette analogie,
les champs B et E.

Le champ B, c'est immédiat, correspond à la vorticité.

Mais le champ E, - [∂A/∂t + grad V], à quoi correspond-il ?

Pour un fluide incompressible, la conservation de la quantité de
mouvement s'écrit :

ρ dv/dt = ∂v/∂t + v.grad v = - grad (P)

Et si la variation totale de quantité de mouvement est nulle :
ρ ∂p/∂t + ρ(v.grad) v = - grad (P) = 0

=> ρ(v.grad) v = - [ρ ∂p/∂t + grad (P)]

[incompressibilité]
(v.grad) v = - [∂p/∂t + grad (P/ρ)]

par l'analogie : v <=> A; P/ρ <=> U

(v.grad) A = - [∂A/∂t + grad (U)] = E

E correspond alors à l'advection d'impulsion électromagnétique, dans un
contexte où l'impulsion de la particule ne varie pas.

C'est à dire que, dans ce contexte, la vitesse tangentielle ne varie
pas. C'est évidemment le cas dans un mouvement circulaire. Et le champ E
correspond alors à une accélération centrifuge, a, qui est
perpendiculaire à la vitesse.

Cela complète l'analogie :

A (impulsion électromagnétique) <=> v (densité de qté de mvt)
U (Pression électromagnétique) <=> P/ρ (enthalpie)
B (vorticité électromagnétique) <=> ω (vorticité)
E (advection d'impulsion e.m.) <=> (v.grad) v = grad v²/2 + rot(v) x v

On peut déjà noter que dans un mouvement turbulent, la vorticité et
l'advection de vitesse sont transverses par rapport à la vitesse.

On peut donc donner l'analogue en hydrodynamique des équations de
Maxwell pour les champs.

rot [(v.grad) v] = - ∂ω/∂t
rot ω = 1/c_s ² ∂[(v.grad) v]/∂t

∇² ω - 1/c_s ² ∂²ω/∂t²
∇² (v.grad)v - 1/c_s ² ∂²[(v.grad)v]/∂t²

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